<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <title>Numεrωmikωn</title>
    <link rel="stylesheet" href="../stock.css">
    <link rel="icon" type="image/x-icon" href="../favicon.ico">
    <meta content="text/html;charset=utf-8" http-equiv="Content-Type"/>
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
  </head>

  <body>
    <div class ="nav">
      <a href="../index">Indεχ</a>
      <a href="../clanky">Článκy</a>
      <a class="active" href="../googologie">Gωωgωlωgiε</a>
      <a href="../o_mne">Ω mně</a>
    </div>

    <div class="content-googology">
      <h1>Pomalu rostoucí hierarchie ~ <i>f<sub>η<sub>0</sub> + 1</sub>(n)</i></h1>

      <p>Poslední dobou se jen tváříme, že všemu rozumíme. Ve skutečnosti nemáme ani ponětí, jak nepochopitelné struktury ordinálů
      tvoříme, a už vůbec nemáme představu, co se děje s rychle rostoucí hierarchií. Abychom měli trochu přehled, naučíme se pracovat s
      pomalu rostoucí hierarchií, jež se řídí podle tří pravidel:</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>0</sub>(n) = 0</p>
        <p>g<sub>α + 1</sub>(n) = g<sub>α</sub>(n) + 1</p>
        <p>g<sub>β</sub>(n) = g<sub>β[n]</sub>(n), je-li β mezní ordinál</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Připomíná Hardyho hierarchii, ale nemohla by se víc lišit. Zdánlivě malé rozdíly mezi těmito dvěma hierarchemi tvoří dvě nesrovnatelné
      posloupnosti. Ukážeme si mnoho příkladů. Začněme malými ordinály:</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>0</sub>(f<sub>η + 1</sub>(1000)) = 0</p>
      </div>

      <p>To nám podle nultého pravidla je jasné.</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>1000</sub>(f<sub>η + 1</sub>(f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(G))) = 1000</p>
      </div>

      <p>Zatím roste tak, že neroste. To bude platit, dokud na scénu nepřijdou nekonečné ordinály:</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>ω</sub>(10<sup>10</sup>) = 10<sup>10</sup></p>
      </div>

      <p>Nenechme se zmást klamem, že by snad pomalu rostoucí hierarchie začala dohánět Hardyho hierarchii:</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>ω<sup>ω</sup></sub>(10) = 10<sup>10</sup></p>
      </div>

      <p>Kdežto u Hardyho hierarchie bychom měli <i>f<sub>10</sub>(10)</i>. Ale Hardyho hierarchie byla též o krok pozadu! Co kdybychom
      pořádně zatlačili?</p>

      <div class="math"> 
        <p>g<sub>ε<sub>0</sub> + 1</sub>(3) = 28</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Cože? Pouhých <i>28</i>? Kdybychom použili Hardyho hierarchii, vypadalo by to takto:</p>

      <div class="math">
        <p>H<sub>ε<sub>0</sub> + 1</sub>(3) = H<sub>ε<sub>0</sub></sub>(4)</p>
        <p>H<sub>ε<sub>0</sub></sub>(4) = H<sub>ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup></sub>(4)</p>
      </div>

      <p>Převedeme na rychle rostoucí hierarchii:</p>

      <div class="math">
        <p>H<sub>ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup></sub>(4) = f<sub>ω<sup>ω</sup></sup>(4)</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>A to je velmi velké číslo! Co kdybychom to ale porovnali s rychle rostoucí hierarchií?</p>

      <div class="math">
        <p>f<sub>ε<sub>0</sub> + 1</sub>(3) = f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(3)))</p>
      </div>

      <p>Rozepíšeme nejvnořenější funkci:</p>

      <div class="math">
        <p>f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(3) = f<sub>ω<sup>ω</sup></sub>(3)</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Bože, spas nás! Z této funkce by vzniklo tak nepředstavitelné číslo, které by teprve určovalo počet <i>ω</i> v druhém opakování
      <i>ε<sub>0</sub></i>! A to bychom opakovali ještě jednou na konec! Zde je nutné podoknout, že přestože platí:</p>

      <div class="math"> 
        <p>H<sub>ε<sub>0</sub></sub>(n) &lt; f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(n) &lt; H<sub>ε<sub>0</sub></sub>(n + 1)</p>
      </div>

      <p>Nutně to neznamená, že to bude platit pro každý větší ordinál! Jak jsme zrovna viděli výše, pro ordinál <i>ε<sub>0</sub> + 1</i> a
      vstupní hodnotu <i>3</i> je rozdíl mezi rychle rostoucí hierarchií a Hardyho hierarchií nepředstavitelný a ani podstatný rozdíl ve vstupních hodnotách
      by Hardyho hierarchii nezachránil. Rovnost mezi rychle rostoucí hierarchií a Hardyho hierarchií bude platit jen pro některé větší ordinály.</p>  

      <p>------</p>

      <p>Vraťme se k pomalu rostoucí hierarchii. Když se zamyslíme, všimneme si, že bude přesně popisovat počet rozdílných funkcí v prvním
      rozepsání. Zkusme se podívat:</p>

      <div class="math"> 
        <p>g<sub>ω<sup>ω<sup></sub>(2) = 4</p>
      </div>

      <p>Nyní si rozepíšeme indexy, které bychom našli v prvním rozepsání rychle rostoucí hierarchie se vstupní hodnotou <i>2</i>:</p>

      <div class="math">
        <p>0) ω<sup>ω</sup> = ω<sup>2</sup> = ω * 2 = ω + 2</p>
        <p>1) ω + 1</p>
        <p>2) ω</p>
        <p>3) 1</p>
        <p>4) 0</p>
      </div>

      <p>Tak by vypadala rychle rostoucí hierarchie:</p>

      <div class="math">
        <p>f<sub>ω + 1</sub>(f<sub>ω</sub>(f<sub>1</sub>(f<sub>0</sub>(2))))</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Zatímco výsledek pomalu rostoucí hierarchie jsou čtyři, pro rychle rostoucí hierarchii by to bylo přibližně
      <i>g<sub>2 ↑↑↑↑↑ 6</sub></i> z Grahamovy funkce; šíleně větší než Grahamovo číslo!<p>

      <p>Zkusíme trochu větší posloupnost:</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>ε<sub>0</sub>(3) = 27</p>
      </div>

      <p>Protože indexy by pokračovaly takto:</p>

      <div class="math">
        <p>0) ε<sub>0</sub>
        <p>0) ω<sup>ω</sup></p>
        <p>0) ω<sup>3</sup></p>
        <p>0) ω<sup>2</sup> * 3</p>
        <p>0) ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 3</p>
        <p>0) ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 3</p>
      </div>

      <p>Teprv jsme zapsali první nemezní ordinál. Pokračujme:</p>

      <div class="math">
        <p>1) ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 2</p>
        <p>2) ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 1</p>
        <p>3) ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2</p>
        <p>3) ω<sup>2</sup> * 2 + ω + 3</p>
        <p>4) ω<sup>2</sup> * 2 + ω + 2</p>
        <p>5) ω<sup>2</sup> * 2 + ω + 1</p>
        <p>6) ω<sup>2</sup> * 2 + ω</p>
        <p>6) ω<sup>2</sup> * 2 + 3</p>
        <p>7) ω<sup>2</sup> * 2 + 2</p>
        <p>8) ω<sup>2</sup> * 2 + 1</p>
        <p>9) ω<sup>2</sup> * 2</p>
        <p>9) ω<sup>2</sup> + ω * 3</p>
        <p>9) ω<sup>2</sup> + ω * 2 + 3</p>
        <p>10) ω<sup>2</sup> + ω * 2 + 2</p>
        <p>11) ω<sup>2</sup> + ω * 2 + 1</p>
        <p>12) ω<sup>2</sup> + ω * 2</p>
        <p>12) ω<sup>2</sup> + ω + 3</p>
        <p>13) ω<sup>2</sup> + ω + 2</p>
        <p>14) ω<sup>2</sup> + ω + 1</p>
        <p>15) ω<sup>2</sup> + ω</p>
        <p>15) ω<sup>2</sup> + 3</p>
        <p>16) ω<sup>2</sup> + 2</p>
        <p>17) ω<sup>2</sup> + 1</p>
        <p>18) ω<sup>2</sup></p>
        <p>18) ω * 3</p>
        <p>18) ω * 2 + 3</p>
      </div>

      <p>Až po 18. kroku jsme se zbavili mocniny. Konec je již jednoduchý:</p>

      <div class="math">
        <p>19) ω * 2 + 2</p>
        <p>20) ω * 2 + 1</p>
        <p>21) ω * 2</p>
        <p>21) ω + 3</p>
        <p>22) ω + 2</p>
        <p>23) ω + 1</p>
        <p>24) ω</p>
        <p>24) 3</p>
        <p>25) 2</p>
        <p>26) 1</p>
        <p>27) 0</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Celkově jsme zapsali <i>27</i> ruzných ordinálů, než jsme se dobojovali k <i>0</i>. Pro ordinály menší než <i>ε<sub>0</sub></i> lze zaměnit
      všechny <i>ω</i> v indexu za <i>n</i>: <i>3<sup>3</sup></i> je <i>27</i>.</p>
      <p>Zkusme si rozepsat větší nekonečný ordinál se vstupní hodnotou <i>3</i>:</p>

      <div class="math">
        <p>0) ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup></p>
        <p>0) ω<sup>ω<sup>3</sup></sup></p>
        <p>0) ω<sup>ω<sup>2</sup> * 3</sup></p>
        <p>0) ω<sup>ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 3</sup></p>
        <p>0) ω<sup>ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 3</sup></p>
        <p>0) ω<sup>ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 2</sup> * 3</p>
        <p>0) ω<sup>ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 2</sup> * 2 + ω<sup>ω<sup>2</sup> * 2 + ω * 2 + 1</sup> * 3</p>
        <p>0) ...</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Trvalo by velmi dlouho, než bychom se vůbec dostali k prvnímu nemeznímu ordinálu! Celý zápis
      by obsahoval <i>3<sup>3<sup>3</sup></sup></i> (tedy <i>7625597484987</i>) kroků.</p>

      <p>Teď již víme, jaký vztah má pomalu rostoucí hierarchie k rychle rostoucí hierarchii. Jak by vypadal růst
      <i>g</i>, kdybychom využili ordinály jako <i>ζ</i> či <i>η</i>?</p>

      <div class="math">
        <p>g<sub>ζ<sub>0</sub></sub>(n) ~ n ↑↑↑ (n + 1)</p>
        <p>g<sub>η<sub>0</sub></sub>(n) ~ n ↑↑↑↑ (n + 1)</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Snad ani nemusíme zkoušet vstupní hodnoty, my bychom výsledky totiž ani celé nezapsali. Dostali jsme se do bodu, kdy
      pouhý počet rozdílných funkcí v prvním rozepsání je roven nepředstavitelným číslům! Někdy si ukážeme ordinály tak obrovské, že
      pokud bychom je užili v indexu pomalu rostoucí hierarchie, rostla by stejně rychle jako <i>f<sub>ε<sub>0</sub></sub>(n)</i>! Teď
      je ale načase se podívat na Veblenovy funkce.</p>

    </div>

    <footer>
      <p class="footer"><a class="silent" href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">Kristian Tichota (CC-BY-4.0)</a></p>
    </footer>
  </body>
</html>
